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\newmdtheoremenv[
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]{zgraytheorem}{}
% 定义说明环境样式
\newtheoremstyle{mystyle}% 说明环境样式的名称
  {1em}% 上方间距
  {1em}% 下方间距
  {\normalfont}% 说明内容的字体样式
  {}% 缩进量
  {\bfseries}% 说明标记的字体样式
  {.}% 说明标记和说明内容之间的标点
  {1em}% 说明标记后的水平空间
  {}% 说明标记后的垂直空间
% 使用新定义的样式创建说明环境
\theoremstyle{mystyle}
\newtheorem*{zremark}{说明}


\begin{document}
\title{5.3 文中的为什么}
\maketitle

\textbf{1.$-LIM_{n \rightarrow \infty}a_n = LIM_{n \rightarrow \infty}(-a_n)$}

证明：

由实数负运算的定义可知，
\begin{align*}
  -LIM_{n \rightarrow \infty}a_n & = (-1) \times LIM_{n \rightarrow \infty}a_n                                           \\
                                 & = LIM_{n \rightarrow \infty}-1 \times LIM_{n \rightarrow \infty}a_n                   \\
                                 & = LIM_{n \rightarrow \infty}(-a_n)                                  & \text{【实数乘法定义】} \\
\end{align*}

\textbf{2.序列$0.1,0.01,0.001,...$等价于零序列$(0)_{n=1}^\infty$}

证明：

其实序列$0.1,0.01,0.001,...$就是$(\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$，
对任意有理数$\epsilon > 0$，当$N \geq \frac{1}{\epsilon}$（有命题4.4.1保证$N$是存在的），
使得对所有$n \geq N$有，
\begin{align*}
  |1/n - 0| & = 1/n \leq \epsilon
\end{align*}
所以序列$0.1,0.01,0.001,...$与零序列$(0)_{n=1}^\infty$对任意$\epsilon$是最终$\epsilon -$接近的，
所以两者是等价的。


\textbf{3.如何推导？}

证明：

这里要先证明，有理数$x,y$具有以下性质$|x|-|y| \leq |x-y|$。

$x=x-y+y$，然后由命题4.3.3（b）(绝对值的三角不等式)可知，
\begin{align*}
  |x|       & \leq |x-y| + |y|                       \\
  |x| - |y| & \leq |x-y|       & \text{【命题4.2.9（d）】} \\
\end{align*}
于是性质$|x|-|y| \leq |x-y|$得证。

利用刚才的性质，可得，
\begin{align*}
  |b_{n_0}| - |b_{n}|     & \leq |b_{n_0} - b_{n}|             \\
  |b_{n_0}| - |b_{n}|     & \leq \frac{1}{2}\epsilon           \\
  \epsilon \leq |b_{n_0}| & \leq \frac{1}{2}\epsilon + |b_{n}| \\
  \epsilon                & \leq \frac{1}{2}\epsilon + |b_{n}| \\
  \frac{1}{2}\epsilon     & \leq  |b_{n}|
\end{align*}

\textbf{4.$xx^{-1}=x^{-1}x=1$为什么？}

不妨设$x=LIM_{n\rightarrow \infty}a_n$，那么由定义5.3.16（实数的倒数）可知
$x^{-1} = LIM_{n\rightarrow \infty}a_n^{-1}$，所以，
\begin{align*}
  x^{-1}x & = LIM_{n\rightarrow \infty}a_n^{-1} \times LIM_{n\rightarrow \infty}a_n \\
          & = LIM_{n\rightarrow \infty}a_n^{-1} a_n                                 \\
          & = LIM_{n\rightarrow \infty}1                                            \\
          & = 1
\end{align*}

同时，
\begin{align*}
  xx^{-1} & = LIM_{n\rightarrow \infty}a_n \times LIM_{n\rightarrow \infty}a_n^{-1} \\
          & = LIM_{n\rightarrow \infty} a_n a_n^{-1}                                 \\
          & = LIM_{n\rightarrow \infty}1                                            \\
          & = 1
\end{align*}

所以$xx^{-1}=x^{-1}x=1$

\end{document}